Inecuaciones de Primer Grado - PAES M1

Este resumen corresponde al Eje Temático Álgebra y funciones en la unidad temática Inecuaciones de primer grado, la que se describe como:

• Resolución de inecuaciones lineales.
• Problemas que involucren inecuaciones lineales en diversos contextos.

¿Qué es una inecuación?

Una inecuación es la representación de la desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
Una inecuación posee al menos una incógnita o término desconocido, que habitualmente se representa con la letra $x$.
Una inecuación contiene el símbolo $\lt$ , $\gt$, $\leq$ o $\geq$.

Notación: Nota que la desigualdad $A < B$ es equivalente a $B > A$.

En esta tabla se muestran algunas frases clave asociadas a los símbolos de desigualdad:

Símbolo	$\lt$	$\gt$	$\leq$	$\geq$
Frases clave	“Es menor que” “Es menos que”	“Es mayor que” “Es más que”	“Es menor o igual que” “Es como máximo” “No es mayor que”	“Es mayor o igual que” “Es como mínimo” “No es menor que”

Inecuación de primer grado con una incógnita

Cuando una inecuación posee una incógnita y ésta tiene como mayor exponente el número 1, se denomina inecuación lineal o inecuación de primer grado con una incógnita.
Resolver una inecuación de primer grado con una incógnita es encontrar el conjunto de valores que debe tomar la incógnita para que la desigualdad sea verdadera. El conjunto de todas las soluciones de una inecuación se llama conjunto de solución.

Para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita se puede aplicar un conjunto ordenado de operaciones que no alteran la desigualdad y permiten despejar la incógnita, es decir, aislarla en un lado de la desigualdad, obteniendo su valor mínimo o máximo en el otro lado de ella.

Resolver inecuaciones usando la adición o la sustracción

Una inecuación conserva la desigualdad cuando se suma o se resta una misma cantidad a ambos lados de la desigualdad.

Modificando una desigualdad con adiciones y sustracciones: Algebraicamente se cumple que:

• Si $a > b$, entonces $a + c > b + c$.
• Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$.
• Si $a > b$, entonces $a - c > b - c$.
• Si $a < b$, entonces $a - c < b - c$.

Estas propiedades también se cumplen para $\leq$ y $\geq$.

Resolver inecuaciones usando la multiplicación o la división (constante positiva)

Una inecuación conserva la desigualdad cuando se multiplica o divide una misma cantidad positiva a ambos lados.

Modificando desigualdades con multiplicaciones y divisiones: Algebraicamente se cumple que:

• Si $a > b$ y $c > 0$, entonces $a c > b c$.
• Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $a c < b c$.
• Si $a > b$ y $c > 0$, entonces $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$.
• Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$.

Estas propiedades también se cumplen para $\leq$ y $\geq$.

Resolver inecuaciones usando la multiplicación o la división (constante negativa)

Al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, la desigualdad se conserva solo si se invierte el sentido del símbolo.

Enunciado: Algebraicamente se cumple que:

• Si $a > b$ y $c < 0$, entonces $a c < b c$.
• Si $a < b$ y $c < 0$, entonces $a c > b c$.
• Si $a > b$ y $c < 0$, entonces $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$.
• Si $a < b$ y $c < 0$, entonces $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$.

Estas propiedades también se cumplen para $\leq$ y $\geq$.

Representación del conjunto solución de una inecuación

La representación gráfica del conjunto solución de una inecuación se realiza en una recta numérica. Un círculo vacío, $\circ$, indica que un número no es solución; un círculo lleno, $\bullet$, indica que sí lo es. Una flecha muestra que la gráfica continúa en esa dirección.

Por ejemplo, el conjunto de los reales mayores o iguales que $-6$ se representa gráficamente como arriba.

Otra forma de representación es la notación de conjuntos. Por ejemplo:

• $\{\,x \mid x \ge -6\}$
• $\{\,x \mid x < 2\}$

También se usan intervalos con corchetes o paréntesis:

• $x \in [-6, \infty[$
• $x \in ]-\infty, 2[$

Enunciado: Nota que el símbolo $\infty$ representa un concepto, no un número real. En los intervalos, los límites infinitos siempre van con corchete “abierto”. Un corchete “abierto” puede reemplazarse por un paréntesis sin cambiar el conjunto. Por ejemplo:

• $[a, b[ = [a, b)$
• $]-\infty, c] = (-\infty, c]$
• $]d, e[ = (d, e)$