Teorema de Pitágoras - PAES M1

Este resumen corresponde al Eje Temático Geometría en la unidad temática Teorema de Pitágoras, la que se describe como:

• Problemas que involucren el teorema de Pitágoras en diversos contextos.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los lados de un triángulo rectángulo, tal que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos.

Enunciado:

$a^2 + b^2 = c^2$

El conjunto de tres números naturales $a$, $b$ y $c$ que satisfacen $a^2 + b^2 = c^2$ se conoce como trío pitagórico. Algunos comunes y sus múltiplos:

3, 4, 5	5, 12, 13	8, 15, 17	7, 24, 25
6, 8, 10	10, 24, 26	16, 30, 34	14, 48, 50
9, 12, 15	15, 36, 39	24, 45, 51	21, 72, 75
3x,4x,5x	5x,12x,13x	8x,15x,17x	7x,24x,25x

Recíproco del teorema de Pitágoras

Enunciado:

Si el cuadrado de la longitud del lado más largo de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. En otras palabras:

Si $c^2 = a^2 + b^2$, entonces $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo.

Teorema de desigualdad de Pitágoras

La desigualdad de Pitágoras es una generalización del teorema de Pitágoras, la cual se extiende a triángulos obtusos y agudos. En un triángulo cualquiera $\triangle ABC$, donde $c$ es la longitud del lado más largo, se cumplen los siguientes enunciados:

• Si $c^2 < a^2 + b^2$, el triángulo es agudo.

• Si $c^2 > a^2 + b^2$, el triángulo es obtuso.

Casos recurrentes e importantes

Altura de un triángulo equilátero

En un triángulo equilátero de lado $a$, la altura define un triángulo rectángulo de hipotenusa $a$ y cateto menor $\dfrac{a}{2}$. Utilizando el teorema de Pitágoras se obtiene que el valor del cateto mayor (o equivalentemente la altura del triángulo equilátero) es $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

$$\begin{aligned} h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 &= a^2 \\ h &= \frac{a\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

Observa la medida de los ángulos interiores del triángulo rectángulo, cuyos valores son 30$^\circ$, 60$^\circ$ y 90$^\circ$.

Diagonal de un cuadrado

La diagonal de un cuadrado de lado $a$ mide $a\sqrt{2}$. Esto es así porque la diagonal de un cuadrado define dos triángulos rectángulos isósceles cuyos catetos miden $a$. La longitud de la diagonal se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras.

$$\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

Observa la medida de los ángulos interiores del triángulo rectángulo, cuyos valores son 45$^\circ$ y 90$^\circ$.