Transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es un movimiento en el plano que mantiene la forma y tamaño de una figura, es decir, la figura resultante es congruente a la inicial y se denomina figura homóloga o imagen. La figura inicial, en tanto, se denomina figura origen.

Entre las transformaciones isométricas que estudiaremos se encuentran las traslaciones, las rotaciones y las simetrías. Cuando trabajemos con cualquiera de estas tres transformaciones nos será útil acudir a un sistema de coordenadas para poder describir la posición de los diferentes puntos que forman nuestras figuras a transformar.

Sistema de coordenadas

Recordemos que el sistema de coordenadas cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares numeradas: una horizontal, denominada eje de las abscisas o eje $X$ y otra vertical, denominada eje de las ordenadas o eje $Y$. Estas dos rectas se intersectan en un punto denominado origen que corresponde al $0$ de ambas rectas numéricas.

La posiciones de los puntos en el plano cartesiano se designan como pares ordenados, por ejemplo el punto $P$ de la figura se escribe como $P(2,-4)$. En esta notación, la primera componente del par ordenado nos indica que el punto $P$ se ubica dos unidades hacia la derecha en el eje de las abscisas. Mientras que la segunda componente del par ordenado nos indica que el punto $P$ se ubica cuatro unidades hacia abajo en el eje de las ordenadas.

Traslaciones

Trasladar un punto $P(x,y)$ con respecto a un vector traslación $\vec v$, significa mover dicho punto según las componentes que definen al vector traslación. Esto es, el punto se moverá en la misma dirección, en el mismo sentido y en la misma magnitud que el vector $\vec{v}$. En el plano cartesiano se resume a la utilización de las coordenadas del vector $\vec{v} = (a, b)$.

Así, el punto $P$ se trasladará $|a|$ unidades hacia la izquierda o hacia la derecha, según indique el signo de a, y $|b|$ unidades hacia arriba o hacia abajo, según indique el signo de b.

Para estandarizar este movimiento, basta con darse cuenta que si se aplica una traslación al punto $P(x,y)$ según el vector $\vec{v} = (a,b)$, se obtiene un nuevo punto $P'$, cuyas coordenadas estarán dadas por:

$$P' (x+a, y+b)$$

Al punto $P'$ se le llama imagen del punto $P$ según la traslación determinada por el vector $\vec{v}$.

En el caso de querer trasladar una figura completa, lo que hacemos es aplicar el vector traslación a todos los puntos que componen la figura. En el caso de un polígono, lo que nos conviene es aplicar la traslación a los vértices de la figura original para obtener la imagen.

Ejemplo 1: Si queremos trasladar el punto $\textcolor{blue}{A(2, -5)}$ con respecto del vector $\textcolor{red}{\vec{v} = (-4,8)}$, lo podemos interpretar como que debemos mover el punto P cuatro unidades hacia la izquierda (-) y ocho unidades hacia arriba (+) obteniéndose como resultado:

$P'(\textcolor{blue}{2}+ \textcolor{red}{-4},~ \textcolor{blue}{-5} + \textcolor{red}{8}) = P'(-2,3)$

Ejemplo 2: Si al punto $A(2,~4)$ se le aplica una traslación según el vector $\vec v = (6,-2)$, entonces se obtiene el punto:

$$A' = (2,~4) + (6, -2) = (8,~ 2)$$

Ejemplo 3: Si queremos trasladar el $\bigtriangleup{ABC}$ cuyos vértices son los puntos $A(1,~3)$, $B(4,~2)$ y $C(3,~6)$, de acuerdo al vector $\vec{v}=(-5,-1)$ significa que debemos mover los tres vértices del triángulo 5 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo.

De acuerdo a la imagen podemos notar que para trasladar por ejemplo los vértices del $\bigtriangleup{ABC}$ basta con sumarles a sus pares ordenados el vector traslación, es decir:

$$\begin{align*} A' &= A + \vec v = (1,~3) + (-5,-1) = (-4,~2)\\ B' &= B + \vec v = (4,~2) + (-5,-1) = (-1,~1)\\ C' &= C + \vec v = (3,~6) + (-5,-1) = (-2,~5)\\ \end{align*}$$

Concluimos entonces que al realizar la traslación del $\bigtriangleup{ABC}$ respecto al vector $\vec{v}=(-5,-4)$ obtenemos el $\bigtriangleup{A'B'C'}$ con coordenadas $A'(-4,~2)$, $B'(-1,~1)$ y $C'(-2,~5)$.

Composición de traslaciones

Cuando hablemos de composición de traslaciones estamos haciendo referencia a la aplicación de más de una traslación consecutiva sobre un objeto.

Por ejemplo si a un punto $O(-4,~2)$ le aplicamos la traslación $\vec{v}=(2,-4)$ y sobre esa imagen otra traslación $\vec{w}=(6,~4)$ obtenemos un punto de coordenadas $O''(4,~2)$.

$$\begin{split} (-4,~2) + (2,-4) &=(-2,-2)\\ (-2,-2) + (6,~4) &=(4,~2) \end{split}$$

Notemos además que aplicar la traslación v y luego la w al punto O, es equivalente a aplicar una única traslación al punto O con un vector traslación igual a la suma del vector v y w.

Propiedades de la traslación

• Al aplicar una traslación $\vec{v}=(a,b)$ a un punto cualquiera $P(x,y)$ la imagen que se obtiene corresponde al punto $P'(x+a,y+b)$.
• En la composición de traslaciones el orden en que se aplican a una figura no influyen en el resultado.
• Toda composición de traslaciones se puede reducir a una única traslación cuyo vector de traslación corresponde a la suma de cada vector por separado.

Simetrías

Una simetría o reflexión corresponde a aquellos movimientos que invierten los puntos y las figuras en el plano. Esta transformación isométrica se puede dividir en simetría axial y simetría central.

Simetría axial

Es una transformación isométrica que mueve cada punto de la figura, de modo que el punto inicial y su homólogo equidistan de una recta llamada eje de simetría. Es importante destacar que si A' es la imagen respecto de una simetría axial del punto A por una recta L, entonces el segmento $\overline{AA'}$ es perpendicular a la recta L.

Las distancias de cada vértice de la figura original ABCDE al eje de simetría, son iguales a las de sus vértices homólogos al eje de simetría.

Podemos identificar tres tipos de rectas:

• Las verticales de ecuación $x = a$ con $a \in \mathbb{R}$.
• Las horizontales de ecuación $y = a$ con $a \in \mathbb{R}$.
• Las oblicuas de ecuación $y = mx + n$ con $m,n \in \mathbb{R}$ y $m\neq 0$

Si el eje de simetría es vertical ($x = a$)

Consideremos un punto $P(m,~n)$ al que le aplicamos una simetría axial respecto de $x = a$ y obtenemos el punto $P'(m', n')$. En tal caso se cumplirá que:

$m' = 2a - m \quad\text{ y }\quad n' = n$

Esto se debe a que al ser el eje de simetría vertical, el punto hará un movimiento horizontal y, por lo tanto, su ordenada no sufrirá cambios.

Por otro lado, las abscisas satisfacen la siguiente condición:

$\dfrac{m +m'}{2} = a$

ya que el punto medio entre $P$ y $P'$ pertenece al eje de simetría.

Si el eje de simetría es horizontal ($y = a$)

Consideremos un punto $P(m,~n)$ al que le aplicamos una simetría axial respecto de $y = a$ y obtenemos el punto $P'(m', n')$. En tal caso se cumplirá que:

$m' = m \quad\text{ y }\quad n' = 2a - n$

Esto se debe a que al ser el eje de simetría horizontal, el punto hará un movimiento vertical y, por lo tanto, su abscisa no sufrirá cambios.

Por otro lado, las ordenadas satisfacen la siguiente condición:

$\dfrac{n +n'}{2} = a$

ya que el punto medio entre $P$ y $P'$ pertenece al eje de simetría.

Si el eje de simetría es oblicuo del tipo $y = x$

Consideremos un punto $P(m,~n)$ al que le aplicamos una simetría axial respecto de $y = x$ y obtenemos el punto $P'(m', n')$. En tal caso se cumplirá que: $(m', n') = (n, m)$

Esto debido a que será equivalente a rotar el punto en $180^\circ$. También lo podemos asociar la gráfica de la función inversa de una función. Recordemos que en tal caso las gráficas son simétricas respecto a la recta $y = x$.

Si el eje de simetría es oblicuo del tipo $y = x + a$

Consideremos un punto $P(m,~n)$ al que le aplicamos una simetría axial respecto de $y = x + a$ y obtenemos el punto $P'(m',n')$. Los pasos para resolver este problema son:

1. Trasladamos la recta y el punto respecto del vector traslación $\vec{v} = (0, - a)$. Obtendremos una nueva recta $y = x$ con la misma pendiente que la original pero que pasa por el origen. Además el punto $P(m,n)$ pasará a $P''(m, +n - a)$.
2. Hacemos la simetría del punto $P''$ respecto a la recta $y = x$ según lo visto en el caso anterior. Obtendremos el punto $P'''(n-a, m)$.
3. Trasladamos el punto $P'''(n-a, m)$ respecto del vector traslación $-\vec{v} = (0, a)$ obteniendo el punto buscado:

$P'(m', n') = (n - a, m + a)$

Ejemplo 1: ¿Cuál es el resultado de aplicar una simetría axial al punto $P(2,~4)$ respecto de la recta $x = 5$ ?

Si se refleja el punto $P(2,~4)$ con respecto a la recta $x = 5$, se obtiene el punto $(8,~4)$, ya que la ordenada (4) se mantiene fija, mientras que la abscisa del punto $P'$ debe ser un valor x tal que promediado con 2 resulte 5

$$\begin{align*} \dfrac{x + 2}{2} &= 5\\ x &= 10 - 2\\ x &= 8 \end{align*}$$

En este caso el valor de la abscisa de $P'$ es 8 y el punto es $P'(8,~4)$.

Ejemplo 2: ¿Cuál es el resultado de aplicar una simetría axial al punto $P(2,~4)$ respecto de la recta $y = 5$ ?

Si se refleja el punto $P(2,~4)$ con respecto a la recta $y = 5$, se obtiene el punto $(2,~6)$, ya que la abscisa (2) se mantiene fija, mientras que la ordenada del punto $P'$ debe ser un valor y tal que promediado con 4 resulte 5

$$\begin{align*} \dfrac{y + 4}{2} &= 5\\ y &= 10 - 4\\ y &= 6 \end{align*}$$

En este caso el valor de la ordenada de $P'$ es 6 y el punto es $P'(2,~6)$.

Composición de simetrías axiales

Cuando hablemos de composición de simetrías axiales estamos haciendo referencia a la aplicación de dos simetrías axiales a una figura de forma consecutiva, es decir, una después de la otra.

Por otro lado, si al mismo punto $A$ le aplicamos las simetrías en orden inverso, es decir primero reflejamos respecto a la recta $M$ y luego respecto a la recta $L$ obtenemos el punto circular $A^{\circ\circ}$ que muestra la figura, el cual es distinto al punto $A''$.

A partir de lo anterior, podemos darnos cuenta que en la composición de simetrías axiales no es conmutativa, es decir, sí importa el orden de aplicación.

Simetría central

Una simetría central de un punto $P(x,~y)$ efectuada con respecto a un punto fijo $C(a,~b)$, llamado centro de simetría, es una transformación isométrica que asocia un punto $P(x,~y)$ con un punto $P'(x',~y')$ tal que:

$\dfrac{x+x'}{2} = a \quad \text{ e }\quad \dfrac{y + y'}{2} = b$

Esto se debe a que el punto $P'(x',~y')$ y $P(x,~y)$ están a la misma distancia del punto $C(a,~b)$ y, además, $P'$ pertenece a la recta que contiene al segmento $\overline{PC}$.

Aplicar una simetría central equivale a rotar en $180^\circ$, considerando como centro de rotación el centro de simetría.

Rotaciones

Una rotación es una transformación isométrica que mueve los puntos según un punto fijo llamado centro de rotación (D) y un ángulo de rotación ($\alpha$). Generalmente se dennota $R_{(D,~\alpha)}$. Las rotaciones en sentido positivo se realizan en contra del movimiento de los punteros del reloj (antihorario), mientras que las que tienen sentido negativo, se realizan a favor del movimiento de los punteros del reloj.

Rotaciones notables

Para cualquier punto $(x,y)$ que se rota en torno al origen del eje de coordenadas en los ángulos de $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ y $360^\circ$ se tiene que:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Punto inicial} & \textbf{$90\text{°}$} & \textbf{$180\text{°}$} & \textbf{$270\text{°}$} & \textbf{$360\text{°}$} \\ \hline (x,~y) & (-y,~x) & (-x,-y) & (y,-x) & (x,~y) \\ \hline \end{array}$$

La regla es que por cada rotación en 90 grados, invertimos el orden de las coordenadas, y a la primera coordenada resultante le invertimos el signo.

Rotaciones con centro que no es el origen

Para rotar un punto cualquiera, con respecto a cualquier punto del plano (que no sea el origen), se puede seguir el procedimiento que se describe a continuación.

Supongamos que queremos rotar el punto $P(x,y)$, con respecto al punto $C(h,k)$, en un ángulo de $90^\circ$ y que resultado esa rotación será $Q(a,b)$. Podemos seguir estos pasos:

1. Se trasladan todos los puntos de tal manera que nuestro centro de rotación sea $(0,0)$ que es el punto al cual ya sabemos rotar. Para esto trasladamos según el vector $\vec{v} = (-h, -k)$, así obtenemos los puntos $P'(x-h, y-k)$ y $C'(0,0)$.

2. Se rota ahora $P'$ respecto de $C'$ según el ángulo pedido de $90^\circ$ que según las reglas anteriores será $P''(k-y, x-h)$.

3. Una vez hecha la rotación anterior, lo que nos falta es volver al sistema de coordenadas inicial (es equivalente a deshacer la traslación inicial). Para esto utilizamos el vector $\vec{v} = (h,k)$. Así $P'$ vuelve a ser $P(x,y)$ y $C'$ vuelve a ser $C$.

$Q(a,b) = (k-y+h, x-h+k)$