Números Enteros

Información PAES - Números Enteros

Este resumen corresponde al Eje Temático Números en la unidad temática Conjunto de los números enteros, que se describe como:

• Operaciones y orden en el conjunto de los números enteros.
• Problemas que involucren el conjunto de los números enteros y racionales en diversos contextos.

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Conjunto de los Números Enteros

Definición: El conjunto de los números enteros se caracteriza por ser infinito y ordenado. El símbolo $\mathbb{Z}$ denota al conjunto de los números enteros:

$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$

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Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real corresponde a la distancia que hay entre el número y el cero en la recta numérica, es decir, el valor absoluto de un número siempre es positivo.

Algebraicamente, el valor absoluto de un número real $x$ se denota como $|x|$.

Definición:

$|x|=x \;\; \text{si} \;\; x\geq 0$

$|x|=-x \;\; \text{si} \;\; x<0$

Por ejemplo:

• $|10| = 10$
• $|-12| = 12$

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Adición y Sustracción de Números Enteros

• Números de igual signo: Suma los valores absolutos de los números y conserva el signo común.

-2 + -7 = -(2+7) = -9  
(-2) + (-7) = -(2+7) = -9  
-2 - 7 = -(2+7) = -9  
-7 - 2 = -(7+2) = -9  

• Números de distinto signo: Resta el número con mayor valor absoluto y conserva su signo.

-2 + 7 = 7 - 2 = 5  
2 + (-7) = -(7 - 2) = -5  
2 - 7 = -(7 - 2) = -5  
-7 + 2 = -(7 - 2) = -5  

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Multiplicación y División de Números Enteros

• Números de igual signo: El resultado siempre es positivo.

-2 × -7 = 14  
(-7) × (-2) = 14  
14 ÷ 7 = 2  
-14 ÷ -7 = 2  

• Números de distinto signo: El resultado siempre es negativo.

2 × -7 = -14  
(-7) × 2 = -14  
-14 ÷ 7 = -2  
14 ÷ -7 = -2  

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Operatoria Combinada

Las operaciones combinadas se resuelven siguiendo este orden:

1. Resuelve las operaciones entre paréntesis.
2. Desarrolla potencias y raíces.
3. Resuelve multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
4. Finalmente, desarrolla las adiciones y sustracciones.

Ejemplo:

$-2 × (6 ÷ 2 × 8 - 30) - 14$

1. Resuelve los paréntesis:

$6 ÷ 2 × 8 - 30 = 3 × 8 - 30 = 24 - 30 = -6$

2. Luego:

$-2 × (-6) - 14 = 12 - 14 = -2$

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Relaciones de Orden en los Números Enteros

• Cualquier entero negativo es menor que 0.
• Cualquier entero positivo es mayor que 0.
• Entre dos enteros negativos, es mayor aquel que tiene menor valor absoluto.
• Entre dos enteros positivos, es mayor aquel que tiene mayor valor absoluto.
• Entre un número entero negativo y uno positivo, es mayor el positivo.

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Propiedades del Conjunto de los Números Enteros

1. Clausura: Las operaciones de adición, sustracción y multiplicación siempre producen otro número entero.
2. Conmutatividad: $a + b = b + a$ y $a × b = b × a$
3. Asociatividad: $(a + b) + c = a + (b + c)$ y $(a × b) × c = a × (b × c)$
4. Distributividad: $a × (b + c) = a × b + a × c$
5. Elemento neutro para la adición: $a + 0 = a$
6. Elemento neutro para la multiplicación: $a × 1 = a$
7. Elemento opuesto aditivo: $a + (-a) = 0$

Ejercitación en video

Revisa este taller de ejercitación de Números Enteros que hizo la Profe Vero.