Introducción a Porcentajes

Información PAES

Este resumen corresponde al Eje Temático Números en la unidad temática Porcentaje la que se describe como:

• Concepto y cálculo de porcentaje.
• Problemas que involucren porcentaje en diversos contextos.

Concepto de porcentaje

Un porcentaje es una razón de consecuente 100 o, equivalentemente, un porcentaje es una fracción con denominador 100.

Definición: Para denotar un porcentaje se usa un número $n$ seguido del símbolo %, para indicar el $n$ por ciento ($n\%$). Así, se cumple que:

$$n\%=\dfrac{n}{100}$$

Por lo tanto, la expresión $n\%$ se interpreta como $n$ de cada 100.

Los porcentajes se pueden interpretar como operadores sobre otras cantidades. Por ejemplo, el $20\%$ de un número $n$ corresponde a dividir $n$ en 100 partes iguales y quedarse con 20 de esas partes:

$$20\% \text{ de } n = 20\% \cdot n = \dfrac{20}{100} \cdot n$$

Los porcentajes permiten referirse a una parte de un todo, sin necesariamente especificar la medida de este todo. Por ejemplo, en la frase “el 50% de los estudiantes de TIClass tienen una mascota”, no sabemos cuántos estudiantes hay en total, pero podemos interpretar que la mitad de ellos tiene una mascota.

Representación de porcentajes

Como los porcentajes permiten referirse a una parte de un todo, sin necesariamente especificar la medida de este todo, siempre consideraremos que $100\%$ representa a este todo. A continuación algunos ejemplos:

• 100% = la unidad o el todo.
• 75% = tres cuartas partes de la unidad o el todo.
• 50% = la mitad de la unidad o el todo.
• 25% = un cuarto de la unidad o el todo.
• 10% = la décima parte de la unidad o el todo.
• 1% = la centésima parte de la unidad o el todo.

Los porcentajes superiores a 100% también poseen una interpretación. A continuación algunos ejemplos:

• 150% = una vez y media la unidad o el todo.
• 200% = el doble de la unidad o el todo.
• 250% = dos veces y media la unidad o el todo.
• 300% = el triple de la unidad o el todo.

Un porcentaje puede ser escrito como una razón, como una fracción o como un número decimal. Por ejemplo, el $20\%$ es equivalente a:

$$\dfrac{20}{100} = \dfrac{1}{5} = 0,2$$

Para transformar el porcentaje de una representación a otra, basta con encontrar fracciones y números decimales equivalentes.

Cálculo de porcentajes

El cálculo de porcentajes es una aplicación del teorema fundamental de las proporciones. Existen tres tipos de cálculos básicos asociados a la resolución de problemas que involucran porcentajes:

• Problemas donde la incógnita es la cantidad que resulta al calcular un porcentaje sobre una cantidad.
• Problemas donde la incógnita es la cantidad total, y se conoce la cantidad resultante y el porcentaje a la que esta corresponde.
• Problemas donde la incógnita es el porcentaje que relaciona dos cantidades.

Problemas donde la incógnita es la cantidad que resulta al calcular un porcentaje sobre una cantidad

En este tipo de problemáticas, debes calcular el $a\%$ de una cantidad $b$. A partir de la definición de porcentaje como una razón, puedes establecer la proporción:

$$\dfrac{a}{100}=\dfrac{x}{b}$$

donde $x$ corresponde al $a\%$ de $b$. Aplicando el teorema fundamental de las proporciones se cumple que:

$$100\cdot x=a\cdot b$$ $$x=\dfrac{a\cdot b}{100}$$

A partir de la definición de porcentaje como un operador, calcular el $a\%$ de una cantidad $b$ se reduce a multiplicar $a\%$ y $b$:

$$a\% \cdot b = \dfrac{a}{100}\cdot b = \dfrac{a\cdot b}{100}$$

Con ambas definiciones, se concluye que el valor buscado para resolver el problema es:

$$x=\dfrac{a\cdot b}{100}$$

Ejemplo de este tipo de problema: El precio original de un pantalón es $10.000. Al aplicar un descuento de 10% sobre el precio original, ¿cuál es el precio final de este pantalón?

Problemas donde la incógnita es la cantidad total, y se conoce la cantidad resultante y el porcentaje a la que esta corresponde

En este tipo de problemáticas, debes calcular la cantidad $x$ que corresponde al 100%, sabiendo que $a\%$ de $x$ corresponde a la cantidad $b$. La frase “$a\%$ de $x$ corresponde a la cantidad $b$” se puede traducir a lenguaje matemático como:

$$a\% \cdot x = b$$ $$\dfrac{a}{100} \cdot x = b$$ $$x = \dfrac{100\cdot b}{a}$$

Ejemplo de este tipo de problema: El 13% de los estudiantes de un colegio toca un instrumento musical en su tiempo libre. Si 20 estudiantes de este colegio tocan un instrumento en su tiempo libre, ¿cuántos estudiantes tiene en total este colegio?

Problemas donde la incógnita es el porcentaje que relaciona dos cantidades

En este tipo de problemáticas, debes calcular qué porcentaje es $a$ de una cantidad $b$. En este caso, se considera que $b$ corresponde al 100%, por lo que puedes establecer la proporción:

$$\dfrac{b}{100}=\dfrac{a}{x}$$

donde $x$ corresponde a qué porcentaje es $a$ de $b$. Aplicando el teorema fundamental de las proporciones se cumple que:

$$100\cdot a=b\cdot x$$ $$x=\dfrac{100\cdot a}{b}$$

Ejemplo de este tipo de problema: Roberto tenía $100.000 en su cuenta corriente y ocupó $30.000 de esa cantidad en extraer una muela del juicio. ¿Qué porcentaje del dinero en su cuenta corriente usó Roberto en su atención odontológica?

ℹ️ Existe una variedad de problemas relacionados con el cálculo de porcentajes. En este resumen sólo se abordan los tres tipos clásicos de aplicación del cálculo de porcentajes en la resolución de problemas, pero debes tener en cuenta que no son los únicos. Es importante leer cuidadosamente los enunciados que involucran porcentajes, ya que pequeñas variaciones en la redacción producen problemas de diferente naturaleza.

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1

En una región de Chile, el precio del kilogramo de pan registró una variación al alza de 5%. Si el precio del kilogramo de pan antes de esta variación era $p$, ¿qué operación permite calcular el precio de un kilogramo de pan después de esta variación?

Opciones:

• A) $p \cdot 5\%$
• B) $p + 5\%$
• C) $p + p \cdot 5\%$
• D) $p + p + 5\%$
• E) $p \cdot 5\% + p \cdot 5\%$

Ver solución

Para calcular un aumento del 5%, debemos sumar el 5% del precio original a ese precio.

• $p + p \cdot 5\% = p \cdot (1 + 0{,}05) = p \cdot 1{,}05$

Por lo tanto, la alternativa correcta es:

C) $p + p \cdot 5\%$

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Ejercicio 2

Un número $n$ disminuyó en el 85%. Para calcular directamente el resultado de esta variación, ¿qué número hay que multiplicar a $n$?

Opciones:

• A) 0,15
• B) 0,85
• C) 8,5
• D) 1,15
• E) 1,85

Ver solución

Si un número disminuye en un 85%, queda el 15% del número original. Eso equivale a multiplicar por 0,15:

• $n \cdot 0{,}15$

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

A) 0,15

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Ejercicio 3

¿Qué porcentaje es $(a + b)$ de $a \cdot b$?

Opciones:

• A) $\dfrac{a+b}{a \cdot b}$%
• B) $\dfrac{100(a+b)}{a \cdot b}$%
• C) $\dfrac{100 \cdot a \cdot b}{a + b}$%
• D) $\dfrac{a \cdot b (a + b)}{100}$%

Ver solución

Para hallar qué porcentaje es $(a + b)$ respecto de $(a \cdot b)$, usamos:

$$\text{Porcentaje} = \dfrac{a + b}{a \cdot b} \cdot 100$$

Por lo tanto, la alternativa correcta es:

B) $\dfrac{100(a + b)}{a \cdot b}$%

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Ejercicio 4

200 estudiantes responden una prueba y el 10% de ellos responde de manera errónea la pregunta 15.

Considerando que todos los estudiantes contestaron la pregunta 15, ¿cuántos estudiantes contestan correctamente esta pregunta?

Opciones:

• A) 10
• B) 20
• C) 160
• D) 180

Ver solución

10% de 200 estudiantes equivale a:

$$200 \cdot 0{,}10 = 20 \text{ estudiantes erraron.}$$

Entonces:

$$200 - 20 = 180 \text{ estudiantes contestaron correctamente.}$$

La respuesta correcta es:

D) 180